Artin groups, projective arrangements, and fundamental groups of smooth complex algebraic varieties

We prove that for any affine variety S defined over Q, there exists an Artin group G such that a Zariski open subset U of S is biregular isomorphic to a Zariski open subset U’ of the character variety X(G,P0(3)) = Hom(G,P0(3))//P0(3). The subset U contains all real points of 5’. As an application, we construct new examples of finitely-presented groups which are not fundamental groups of smooth complex algebraic varieties. Groupes d ‘Artin, arrangements projectifs et groupes fondamentaux des vu&t& complexes algiibriques limes RCsumC. Nous montrons que pour toute vari& &fine S d@inie sur Q, il existe un groupe d’Artin G tel qu’un sow-ensemble ouvert de Zariski U de S est birkgulit?rement isomorphe ir un sow-ensemble ouvert de Zariski de la van’& des classes de reprt%entations Hom(G, P0(3))//P0(3). Le sous-ensemble U contient tous les points re’els de S. Comme application, nous construisons de nouveaux exemples de groupes de p&entation jinie qui ne sont pas le groupe fondamental d’une varitW complexe alge’brique lisse. Version francaise abrkgke Soit A un graphe bipartite, de parts P et L. Nous disons que p dans P et /! dans L sont incidents si p et C sont joints par une arr&te. Une r&alisation de A (comme arrangement dans P2) est une application I#J de P dans P2 et de JC dans l’espace projectif dual (P”)” des droites de P2, qui respecte l’incidence. Prkcisant un resultat de Mnev (voir [6]), nous montrons que pour tout schCma affine S de type fini sur Spec(Z), il existe A tel que S soit un ouvert de Zariski d’un espace de modules de realisations de A. A certains graphes bipartites A, suffisants pour rkaliser tout schCma affine, nous Note prksentke par Pierre DELIGNE. 0764~4442/97/032.5087 1 0 AcadCmie des SciencesElsevier. Paris 871 M. Kapovich and J. J. Millson attachons un groupe d’Artin (resp. de Shephard) correspondant G: (resp. G>), tel qu’un ouvert et ferme de Zariski, HomT(G:, PO(3))//PO(3) de l’espace Hom(G2, P0(3))//P0(3) soit, sur Q, isomorphe a un sous-espace ouvert de Zariski W de l’espace de modules des realisations de A. De plus, W contient tous les points reels. Les representations dans Homf (G:, PO(3)) se factorisent par GSq. Nous en deduisons que les schemas des classes de representations de groupes d’Artin et de Shephard dans PO(3) peuvent avoir des singular&% arbitrairement compliquees (meme en des points correspondant a une representation d’image finie). En revanche, si un groupe est le groupe fondamental d’une variete complexe algebrique lisse, nous avons des restrictions s&&es sur ces singular&s d’apres le theoreme suivant, consequence d’un theoreme de Hain (voir [2]) : TH~OR&ME. Soit M une varie’te’ complexe algebrique lisse, G un groupe reductif reel et p : n-1 (M) -+ G une representation d’image jinie. Alors le germe (analytique reel) (Hom(rr (M), G), p) et son complexifie sont des cones quasi-homogknes avec des generateurs de poids 1 et 2 et des relations de poids 2, 3 et 4. Supposons, de plus, que les orbites de Ad(G) darts Hom(rrr (IU), G) admettent une section locale qui passe par p. Alors le germe quotient (Hom(rr(M), G)//G, [p]) et son complexi’e’ sont des cones quasi-homogenes avec des genne’rateurs de poids 1 et 2 et des relations de poids 2, 3 et 4.